Posts

Showing posts from June, 2017

Membuktikan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Kita akan menerapkan kaidah-kaidah yang telah kita pelajari sebelumnya (dalam tulisan Cara Membuktikan dalam Matematika) untuk membuktikan apakah suatu fungsi termasuk fungsi injektif, surjektif, atau bijektif. Pertama, kita harus memahami definisi-definisi dari sifat-sifat fungsi tersebut. Saya berikan dua referensi berikut ini dari blog Matematika Ku Bisa. Supaya dalam tulisan ini, kita cepat langsung ke contoh soal yang pemaca inginkan.Definisi Fungsi dan Notasi Fungsi Definisi Fungsi dan Fungsi-Fungsi Khusus (Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif) Tapi bagi Anda yang tidak mau membacanya, saya berikan definisi dalam tulisan ini saja.Definisi FungsiSecara intuisi, suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi (aturan korespondensi) yang memasangkan masing-masing unsur x di A secara tunggal dengan unsur f(x) di B. Definisi di atas mungkin tidak jelas, dikarenakan ketidakjelasan frase “aturan korespondensi”. Untuk mengatasi hal ini, kita akan mendefenisikan fungsi dengan…

Cara Membuktikan Bilangan Prima

Masih ingat definisi bilangan prima? Bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 yang hanya memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri,  sedangkan bilangan asli yang lebih besar dari 1 dan bukan merupakan bilangan prima disebut bilangan komposit. Himpunan bilangan prima yaitu {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … } sedangkan himpunan bilangan komposit yaitu {4, 6, 8, 9, 10, 12, … }. Nah, bagaimana 41, apakah termasuk bilangan prima? Ya, karena 41 tidak memiliki faktor yang lain selain 1 dan 41. Namun, jika bilangan seperti 91 atau yang lebih besar lagi, bagaimana cara mengecek bilangan itu, apakah termasuk bilangan prima atau komposit? Untuk mengetahui suatu bilangan merupakan bilangan komposit (bukan bilangan prima), tentu kita harus menemukan satu faktor selain 1 dan bilangan itu sendiri. Misalnya 237  merupakan bilangan komposit karena 237 dapat dibagi dengan 3. Ada dua cara mengetahui 237 bisa dibagi 3, yaitu pertama mencoba membagi secara langsung …

Cara Membuktikan Pernyataan Ekivalensi

Tahukah Anda perbedaan $p \Leftrightarrow q$ dan $p \equiv q$?  $p \Leftrightarrow q$ dibaca “p jika dan hanya jika q”, adalah proposisi majemuk ekivalensi yang disusun dari dua proposisi p dan q dengan menggunakan kata perangkai “jika dan hanya jika”. Ekivalensi $p \Leftrightarrow q$ bernilai benar hanya bila p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama. Apabila $p \Leftrightarrow q$ bernilai benar, dua buah proposisi p dan q  tersebut dikatakan ekivalen atau setara. p ekivalen dengan q disajikan dengan lambang $p \equiv q$.Contoh: Proposisi majemuk $p \Rightarrow q$ ekivalen dengan $\neg p \vee q$, disajikan dengan lambang $p \Rightarrow q \ \equiv \  \neg p \vee q$ karena ekivalensi $(p \Rightarrow q) \ \Leftrightarrow \  (\neg p \vee q)$ bernilai benar (bisa ditunjukkan menggunakan tabel kebenaran).Pernyataan ekivalensi $p \Leftrightarrow q$ yang bernilai benar, disajikan dengan lambang  $p \equiv q$,  dibuktikan berdasarkan Tautologi Ekivalensi berikut ini. $(p \Leftrightarrow q) \…

Cara Membuktikan Pernyataan Berkuantor

Untuk membuktikan kebenaran pernyataan berkuantor eksistensial, yaitu pernyataan yang benar untuk suatu (sekurang-kurangnya satu) elemen dalam semestanya, kita cukup memperlihatkan bahwa terdapat sekurang-kurang satu elemen dalam semestanya yang memenuhi pernyataan tersebut. Untuk membuktikan kebenaran pernyataan berkuantor universal, yaitu pernyataan yang benar untuk semua (setiap) elemen dalam semestanya, kita mengambil sebarang elemen dalam semestanya dan membuktikan bahwa elemen tersebut memenuhi pernyataan itu. Misalkan semestanya adalah himpunan bilangan asli, untuk membuktikan kebenaran pernyataan berkuantor ini digunakan metode pembuktian dengan induksi matematis. Perhatikan dalam contoh berikut ini, cara membuktikan pernyataan eksistensial dan pernyataan universial. Buktikan bahwa jika a dan b adalah bilangan rasional dengan $a < b$, maka terdapat bilangan $x$ sedemikian sehingga $a < x < b$ Bukti:Pembuktian kebenaran pernyataan tersebut cukup memperlihatkan bahwa ada…

Cara Membuktikan Pernyataan Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dengan menghubungkan pernyataan p dan pernyataan q menggunakan kata perangkai “atau”. Disjungsi pernyataan p dan q disajikan dengan lambang $p \vee q$ dimana disjungsi ini bernilai benar apabila sekurang-kurangnya salah satu dari kedua pernyataan penyusunnya bernilai benar, yaitu p yang bernilai benar, atau q yang bernilai benar, atau kedua-duanya bernilai benar.Berdasarkan pengertian di atas, untuk membuktikan kebenaran pernyataan disjungsi, kita harus membuktikan sekurang-kurangnya salah satu dari pernyataan penyusun disjungsi tersebut adalah benar, sehingga jika diketahui bahwa salah satu pernyataan penyusunnya salah, pernyataan penyusun yang lain harus benar, maka pernyataan disjungsi dapat dibuktikan dengan mengandaikan bahwa salah satu pernyataan penyusunnya salah, kemudian membuktikan pernyataan yang lainnya adalah benar. Jadi, pembuktian kebenaran disjungsi$p \vee q$dapat dilaksanakan dengan pembuktian kebenaran implikasi$ \neg p \Righ…

Cara Membuktikan dalam Matematika

Sebagai pelajar, hanya ada dua hal kemampuan yang dilatih ketika belajar matematika. Hal yang pertama, kita diajarkan bagaimana mengerjakan soal, penulis sudah membahasnya di Cara Mengerjakan Soal Matematika – Blog Cara Kerja Soal secara khusus. Hal yang kedua, bagaimana membuktikan kebenaran-kebenaran matematika. Kita akan membahasnya secara umum dalam tulisan ini, kemudian dibahas dalam tulisan-tulisan lain secara khusus dalam judul-judul tersendiri sesuai kemampuan penulis. Apa yang Dibuktikan dalam MatematikaMatematika dibangun berdasarkan suatu sistem yang memuat beberapa istilah dasar dan sifat yang kebenarannya diterima tanpa pembuktian. Sistem ini disebut sistem aksioma. Sistem aksioma terdiri dari empat bagian penting, yaitu istilah tak terdefinisi, istilah terdefinisi, aksioma, dan teorema. [1] Adapun pengertiannya masing-masing diberikan sebagai berikut. Definisi adalah batasan secara singkat tentang suatu pengertian yang dirumuskan dari istilah dasar (istilah yang tidak t…