Cara Membuktikan dalam Matematika

Sebagai pelajar, hanya ada dua hal kemampuan yang dilatih ketika belajar matematika. Hal yang pertama, kita diajarkan bagaimana mengerjakan soal, penulis sudah membahasnya di Cara Mengerjakan Soal Matematika – Blog Cara Kerja Soal secara khusus. Hal yang kedua, bagaimana membuktikan kebenaran-kebenaran matematika. Kita akan membahasnya secara umum dalam tulisan ini, kemudian dibahas dalam tulisan-tulisan lain secara khusus dalam judul-judul tersendiri sesuai kemampuan penulis.

Apa yang Dibuktikan dalam Matematika

Matematika dibangun berdasarkan suatu sistem yang memuat beberapa istilah dasar dan sifat yang kebenarannya diterima tanpa pembuktian. Sistem ini disebut sistem aksioma. Sistem aksioma terdiri dari empat bagian penting, yaitu istilah tak terdefinisi, istilah terdefinisi, aksioma, dan teorema. [1] Adapun pengertiannya masing-masing diberikan sebagai berikut.

  • Definisi adalah batasan secara singkat tentang suatu pengertian yang dirumuskan dari istilah dasar (istilah yang tidak terdefinisi) yang perumusannya menjadi suatu pernyataan yang benar.
  • Istilah tak terdefinisi adalah istilah dasar (primitif) yang digunakan untuk membangun istilah lain, arti istilahnya sendiri tidak didefinisikan tetapi deskripsinya ada. Contohnya titik, garis, bidang, dan sebagainya.
  • Aksioma berasal dari bahasa Yunani yang memiliki arti terbukti dengan sendirinya. Aksioma adalah suatu pernyataan yang memuat istilah dasar (istilah tak terdefinisi) dan istilah terdefinisi, tidak berdiri sendiri dan tidak diuji kebenarannya. Aksioma merupakan pernyataan pangkal yang diandaikan benar pada suatu sistem dan diterima tanpa pembuktian. Aksioma digunakan sebagai pedoman dasar untuk menghasilkan dalil-dalil yang baru dan/atau digunakan untuk membuktikan suatu dalil. Nama lain dari aksioma adalah postulat.
  • Dalil (teorema) adalah kebenaran yang diturunkan dari aksioma yang dirumuskan secara logika sehingga kebenarannya perlu dibuktikan terlebih dahulu. Contoh teorema yang diperoleh dengan cara menghubungkan definisi dengan definisi lainnya adalah teorema Pythagoras yang menyatakan hubungan ketiga sisi segitiga siku-siku.

Bukti Formal. Membuktikan bahwa suatu pernyataan adalah pernyataan yang benar adalah salah satu masalah pokok yang digumuli terus menerus dalam matematika. Pembuktian kebenaran suatu pernyataan berlangsung dalam suatu proses penalaran deduktif yang sah, yaitu suatu proses yang berpangkal dari suatu himpunan (bentuk) pernyataan-pernyataan yang disebut premis dan berakhir dengan suatu (bentuk) pernyataan yang disebut kesimpulan.  Setiap langkah dalam proses tersebut haruslah didasarkan pada suatu kaidah inferensi tertentu sehingga premis-premis yang benar akhirnya hanya dapat dihasilkan kesimpulan yang benar. Karena penalaran deduktif yang sah tidak mungkin menghasilkan kesimpulan yang salah dari premis-premis yang benar. Dengan kata lain, membuktikan suatu pernyataan  benar harus menggunakan penalaran yang sah dengan premis-premis yang benar. Penalaran deduktif yang sah ini disebut kaidah inferensi. Kaidah inilah yang kita gunakan dalam membuktikan. [2]

Bukti dalam matematika dipergunakan untuk memperlihatkan bahwa suatu (bentuk) pernyataan (yaitu kesimpulan dari bukti itu) adalah benar berdasarkan (bentuk-bentuk) pernyataan lainnya yang benar atau diandaikan benar (misalnya aksioma dan definisi) atau yang sudah dibuktikan kebenarannya. (Bentuk) pernyataan yang sudah dibuktikan kebenarannya disebut teorema.  Teorema merupakan simpulan-simpulan penting dalam matematika. Karena teorema adalah kebenaran yang diturunkan dari aksioma yang dirumuskan secara logika maka untuk membuktikan teorema, kita harus mengetahui dan memahaminya dulu dari aksioma apa atau dari teorema apa ia diturunkan sehingga dengan menggunakan aksioma tersebut atau teorema yang telah dibuktikan tersebut kita dapat membuktikan teorema yang diminta menggunakan kaidah-kaidah pembuktian yang sah. [3]

Bukti informal. Bukti foramal dimaksudkan untuk memberikan gambaran secara terinci dan formal mengenai langkah-langkah dalam suatu bukti matematis. Dalam prakteknya, bukti matematis biasanya tidak dilaksanakan secara formal tetapi lebih secara informal, yaitu dengan menggunakan kalimat-kalimat dari bahasa biasa. Seperti halnya bukti formal, bukti informal juga terdiri dari berhingga banyak langkah-langkah yang berpangkal dari suatu himpunan premis-premis (dapat berupa aksioma, definisi, atau teorema yang sudah dibuktikan) dan dengan menggunakan kaidah-kaidah inferensi tertentu akhirnya menghasilkan kesimpulan (yang akan dibuktikan kebenarannya). Dalam bukti yang informal biasa digunakan kalimat-kalimat biasa di samping lambang-lambang (formula-formula) matematis. Ada dua macam metode yang sering digunakan dalam bukti informal, yaitu metode pembuktian langsung dan metode pembuktian tak langsung. [4]

Membuktikan Teorema dalam Matematika

Masih ingatkah Anda apa itu proposisi? Proposisi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran (benar atau salah), tidak mungkin sekaligus keduanya (benar dan salah). Contoh, 5 adalah bilangan prima. Ini adalah proposisi atau pernyataan karena memiliki nilai kebenaran dalam hal ini bernilai benar.  Berdasarkan banyaknya pernyataan, proposisi dibagi dua yaitu proposisi atomik dan proposisi majemuk. Proposisi majemuk merupakan proposisi yang dibentuk dari beberapa proposisi atomik dengan menggunakan kata perangkai logis seperti “dan”, “atau”, “jika … maka …”, dan “… jika dan hanya jika …”. Proposisi majemuk yang menggunakan kata perangkai “Jika … maka ….”, disebut proposisi implikasi. Implikasi dua buah proposisi p dan q, yaitu “Jika p maka q”, disajikan dengan lambang $p \Rightarrow q$ , proposisi p disebut anteseden (atau premis) dan proposisi q disebut konsekuen (atau kesimpulan). Rumus atau teorema di matematika umumnya dapat ditulis dalam bentuk $p \Rightarrow q$  sedemikian hingga p disebut syarat cukup untuk q dan q disebut syarat perlu untuk p.  Untuk membuktikan pernyataan  $p \Rightarrow q$  bernilai benar yaitu q bernilai benar jika p bernilai benar, dapat dilakukan dengan pembuktian berikut ini.

1. Bukti Langsung

Untuk meyakinkan kebenaran implikasi $p \Rightarrow q$ dengan bukti langsung, kita menggunakan pernyataan $p$ sebagai informasi untuk menunjukkan $q$. Untuk membuktikan teorema yang berbentuk secara langsung yaitu dimulai dari pernyataan $p$ mengimplikasikan pernyataan $q_1$ , mengimplikasikan pernyataan $q_2$ sampai pernyataan ke $q_n$ yang mengimplikasikan pernyataan $q$ sehingga pernyataan $p \Rightarrow q$ terbukti bernilai benar. Hal ini sesuai dengan kaidah silogisme berikut ini.

$\begin{align} p & \rightarrow q_1 \\ q_1 & \rightarrow q_2 \\ & … \\  q_n & \rightarrow q \\ Kesimpulan: \ p & \rightarrow q \end{align}$

Contoh: Buktikan jika $x$ bilangan ganjil, maka $x^2$ bilangan ganjil

Tulislah bilangan ganjil $x$ dalam bentuk $x=2k+1$, k bilangan bulat (berdasarkan definisinya) . Akibatnya,

$\begin{align} x^2 &=(2k+1)^2 \\ &= 4k^2+4k+1 \\ &= 2(2k^2+2k)+1 \end{align}$

Karena jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat adalah bilangan bulat maka $2(2k^2+2k)+1$ adalah bilangan ganjil, sehingga terbukti bahwa jika $x$ bilangan ganjil maka $x^2$ juga bilangan ganjil.

2. Bukti Tak Langsung

Apabila bukti tidak langsung sulit untuk digunakan dalam membuktikan teorema, kita bisa mencoba bukti tak langsung. Bukti tak langsung dari suatu implikasi adalah pembuktian yang menggunakan pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi tersebut. Salah satu cara adalah membuktikan bahwa kontraposisi dari implikasinya benar, yang dikenal sebagai bukti dengan kontraposisi. Cara lainnya adalah membuktikan bahwa sesuatu yang tidak sesuai dengan  implikasi itu selalu mengakibatkan pertentangan sesuatu yang dianggap benar. Cara ini dikenal sebagai bukti dengan kontradiksi.

a. Bukti dengan Kontraposisi

Implikasi $p \Rightarrow q$ dibuktikan dengan kontraposisi, yaitu dengan membuktikan $\neg q \Rightarrow \neg p$ karena $p \Rightarrow q$ ekuivalen dengan $\neg q \Rightarrow \neg p$. Apabila kita telah membuktikan kebenaran pernyataan $\neg q \Rightarrow \neg p$ maka secara tidak langsung kita telah membuktikan pula kebenaran implikasi $p \Rightarrow q$.

Contoh: Kontraposisi dari implikasi “Jika $x^2$ bilangan genap maka $x$ juga bilangan genap” adalah

“Jika $x$ bukan bilangan genap maka $x^2$ juga bukan bilangan genap”.

Karena setiap bilangan bulan yang tidak genap adalah bilangan ganjil, maka kontraposisi di atas ekuivalen dengan pernyataan

“jika $x$ bilangan ganjil, maka $x^2$ bilangan ganjil”

Implikasi ini telah dibuktikan pada contoh sebelumnya. Jadi, karena kontraposisi dari pernyataan yang akan dibuktikan benar, maka terbuktilah yang diinginkan.

b. Bukti dengan Kontradiksi

Mula-mula kita mengandaikan yang sebaliknya bahwa pernyataan $p \Rightarrow q$ bernilai salah, sesuai dengan tabel kebenaran implikasi, p bernilai benar dan q bernilai salah (atau $\neg q$ yang bernilai benar). Dengan mengandaikan $\neg q$ yang benar, kita mempunyai satu informasi tambahan. Dengan informasi ($p \wedge \neg q$) kita menemukan sesuatu yang kontradiksi, dengan p atau dengan sesuatu yang dianggap benar (misalnya r). Proses ini secara simbolik ditulis:

$(p \wedge \neg q) \rightarrow (p \wedge \neg p)$ atau

$(p \wedge \neg q) \rightarrow (r \wedge \neg r)$

Dengan menggunakan kaidah reduktio ad absurdum, yakni: 

$[ \neg q \Rightarrow (p \wedge \neg p)] \Rightarrow q$ atau

$[ \neg q \Rightarrow (r \wedge \neg r)] \Rightarrow q$

kita menarik kesimpulan bahwa pengandaian salah, yang benar adalah q bernilai benar.  Bisa juga dipahami dengan cara berikut ini.

Karena kita sudah mengandaikan $\neg q$ bernilai benar sehingga bersama-sama dengan informasi p melalui proses penalaran yang sah kita menyimpulkan sesuatu yang kontradiksi,  $p \wedge \neg p$ atau $r \wedge \neg r$. Karena kita melakukannya secara sah, maka $ (p \wedge \neg q) \rightarrow (p \wedge \neg p)$ atau  $(p \wedge \neg q) \rightarrow (r \wedge \neg r)$ haruslah implikasi yang bernilai benar. Perhatikan $p \wedge \neg p$ atau $r \wedge \neg r$ adalah bentuk pernyataan yang kontradiksi (selalu bernilai salah) maka agar kedua implikasi di atas bernilai benar, sesuai dengan tabel kebenaran implikasi $p \wedge \neg q$, haruslah anteseden dari kedua implikasi tersebut bernilai salah. Jadi,  $ \neg (p \wedge \neg q)$ yang bernilai benar bukan $p \wedge \neg q$ . Padahal kita tahu bahwa  $\neg (p \wedge \neg q)$ ekuivalen dengan $p \Rightarrow q$. Jadi, kita telah membuktikan pernyataan $p \Rightarrow q$ adalah benar. Adapun, langkah-langkah praktis untuk membuktikan teorema dengan bukti kontradiksi dapat dilakukan sebagai berikut.

1) Andaikan sebaliknya bahwa –q benar.

2) Dari pernyataan $ \neg q$, misalnya kita dapat menemukan suatu pernyataan yang kontradiksi baik dengan p maupun dengan pernyataan lain yang dianggap benar, maka kita simpulkan pengandaian salah yang berarti q bernilai benar.

Bukti dengan cara kontradiksi ini digunakan sebagai alternatif terakhir dalam kasus bukti langsung dan bukti dengan kontraposisi tidak dapat dilakukan. Banyak hasil matematika yang terpaksa dibuktikan dengan cara ini.

Contoh: (Prinsip Rumah Burung) Jika $s$ objek ditempatkan di dalam k kotak dimana $s > k$, maka terdapat paling sedikitnya satu kotak yang berisi lebih dari satu objek.

Bukti: Andaikan bahwa tidak ada kotak yang berisi lebih dari satu objek yang artinya semua kotak hanya berisi masing-masing satu objek. Maka, terdapat paling banyak k objek. Hal ini kontradiksi dengan fakta bahwa terdapat s objek dimana $s > k$. Sehingga pengandaian salah, yang benar paling sedikitnya satu kotak yang berisi lebih dari 1 objek.

Pembuktian dengan Induksi Matematis

Pembuktian induksi matematis dipergunakan untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan adalah benar untuk setiap bilangan bulat positif. Metode pembuktian ini didasarkan pada teorema dalam Teori Bilangan yang dikenal dengan Prinsip Induksi Matematis yang berbunyi sebagai berikut:

Jika N adalah himpunan bilangan bulat positif (asli) dan M adalah himpunan bagian dari N yang memenuhi dua sifat: (1) $1 \in M$; (2) jika $k \in M$, maka $k+1 \in M$ untuk setiap $k \in N$. Maka, $M=N$.

Penjelasan selengkapnya beserta contohnya, penulis bahas di tulisan Cara Mengerjakan Soal Induksi Matematika – Cara Kerja Soal.

Selain daripada di atas, penulis membahas secara khusus dalam tulisan lain beberapa metode pembuktian khusus:


Catatan kaki:

[1] Koko Martono, Kalkulus (Jakarta: Erlangga, 1999), hlm. 370

[2] Frans Susilo, Landasan Martematika (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2012), hlm. 44

[3] ibid.

[4] ibid., hlm. 46-47

Sumber Lain: Wono Setya Budhi , Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika (Jakarta Selatan: CV Ricardo, 2003).

Comments

Popular posts from this blog

Membuktikan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak