Cara Membuktikan Pernyataan Berkuantor

Untuk membuktikan kebenaran pernyataan berkuantor eksistensial, yaitu pernyataan yang benar untuk suatu (sekurang-kurangnya satu) elemen dalam semestanya, kita cukup memperlihatkan bahwa terdapat sekurang-kurang satu elemen dalam semestanya yang memenuhi pernyataan tersebut. Untuk membuktikan kebenaran pernyataan berkuantor universal, yaitu pernyataan yang benar untuk semua (setiap) elemen dalam semestanya, kita mengambil sebarang elemen dalam semestanya dan membuktikan bahwa elemen tersebut memenuhi pernyataan itu. Misalkan semestanya adalah himpunan bilangan asli, untuk membuktikan kebenaran pernyataan berkuantor ini digunakan metode pembuktian dengan induksi matematis. Perhatikan dalam contoh berikut ini, cara membuktikan pernyataan eksistensial dan pernyataan universial.

  • Buktikan bahwa jika a dan b adalah bilangan rasional dengan $a < b$, maka terdapat bilangan $x$ sedemikian sehingga $a < x < b$

Bukti:

Pembuktian kebenaran pernyataan tersebut cukup memperlihatkan bahwa ada sekurang-kurangnya satu bilangan rasional $x$ sedemikian sehingga $a < x < b$. Sebagai bilangan $x$ kita dapat mengambil $x= \frac{a+b}{2}$. Karena $a < b$, maka $a+b < b+b$ sehingga $\frac{a+b}{2} < \frac{b+b}{2}$, yaitu $ x < b$. Demikian pula, karena $a < b$, maka $a+a < a+b$ sehingga $\frac{a+a}{2} < \frac{a+b}{2}$, yaitu $ a < x$. Jadi, $ a < x < b$.

  • Buktikan bahwa kuadrat setiap bilangan real adalah bilangan real tak negatif

Bukti:

Untuk membuktikan kebenaran pernyataan tersebut, diambil sebarang bilangan real $x$. Ada tiga kemungkinan, yaitu $x<0$, $x=0$, atau $x>0$. Jika $x<0$ maka $x^2>0$. Jika $x=0$ maka jelas $x^2=0$. Dan, jika $x>0$ maka $x^2 >0$. Jadi, untuk semua kemungkinan diperoleh $x^2 \ge 0$, yaitu kuadrat setiap bilangan real adalah bilangan real tak negatif. [1] 

  • Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real x dan y, jika $xy=0$ maka $x=0$ atau $y=0$

Bukti:

Untuk membuktikan kebenaran pernyataan tersebut, diambil sebarang bilangan real $x$ dan $y$ untuk menunjukkan bahwa jika $xy=0$ maka $x=0$ atau $y=0$ bernilai benar. Yang diketahui adalah $xy=0$ sebagai anteseden, untuk menunjukkan   $x=0$ atau $y=0$ adalah kesimpulan yang benar dapat dilakukan dengan cara membuktikan implikasi $x \neq 0 \Rightarrow y=0$ atau $y \neq 0 \Rightarrow x=0$ (silahkan baca Cara Membuktikan Pernyataan Disjungsi) . Karena $xy=0$ dan $x \neq 0$ atau  (sebarang bilangan real x tak-nol) maka haruslah $y=0$ sehingga kita telah membuktikan implikasi $x \neq 0 \Rightarrow y=0$ secara langsung; atau karena $xy=0$ dan $y \neq 0$  (sebarang bilangan real y tak-nol) maka haruslah $x=0$ sehingga kita telah membuktikan implikasi $y \neq 0 \Rightarrow x=0$ secara langsung. Dengan demikian karena kita telah membuktikan kebenaran “jika $xy=0$ maka $x=0$ atau $y=0$” berlaku untuk setiap bilangan real maka kita telah membuktikan yang diminta, yaitu untuk setiap bilangan real x dan y, jika $xy=0$ maka $x=0$ atau $y=0$. [2] 


Catatan kaki:

[1]: Frans Susilo, Landasan Matematika (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2012), hlm. 56-57

[2]: Dibuktikan oleh penulis Blog.

Comments

Popular posts from this blog

Membuktikan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak