Cara Membuktikan Pernyataan Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dengan menghubungkan pernyataan p dan pernyataan q menggunakan kata perangkai “atau”. Disjungsi pernyataan p dan q disajikan dengan lambang $p \vee q$ dimana disjungsi ini bernilai benar apabila sekurang-kurangnya salah satu dari kedua pernyataan penyusunnya bernilai benar, yaitu p yang bernilai benar, atau q yang bernilai benar, atau kedua-duanya bernilai benar.

Berdasarkan pengertian di atas, untuk membuktikan kebenaran pernyataan disjungsi, kita harus membuktikan sekurang-kurangnya salah satu dari pernyataan penyusun disjungsi tersebut adalah benar, sehingga jika diketahui bahwa salah satu pernyataan penyusunnya salah, pernyataan penyusun yang lain harus benar, maka pernyataan disjungsi dapat dibuktikan dengan mengandaikan bahwa salah satu pernyataan penyusunnya salah, kemudian membuktikan pernyataan yang lainnya adalah benar. Jadi, pembuktian kebenaran disjungsi

$p \vee q$

dapat dilaksanakan dengan pembuktian kebenaran implikasi

$ \neg p \Rightarrow q$

Hal tersebut sesuai dengan Tautologi Implikasi, yaitu

$ (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg p \vee q)  $

yang menyatakan bahwa implikasi $p \Rightarrow q$ ekivalen dengan disjungsi $\neg p \vee q$, sehingga implikasi $\neg p \Rightarrow q$ ekivalen dengan disjungsi $p \vee q$. Pembuktian kebenaran disjungsi $p \vee q$ dapat juga dilaksanakan dengan membuktikan kebenaran implikasi

$ \neg q \Rightarrow p$

karena implikasi $ \neg q \Rightarrow p$ ekivalen dengan disjungsi $q \vee p$ yang ekivalen dengan disjungsi $p \vee q$.

Perhatikan bahwa metode pembuktian pernyataan disjungsi ini selaras dengan kaidah inferensi Silogisme Disjungtif, yaitu dari premis-premis $p \vee q$ dan $\neg p$ dapat disimpulkn q, dan dari premis-premis $p \vee q$ dan $\neg q$ dapat disimpulkan p.

Contoh: Buktikan bahwa jika $x^2>0$, maka $x<0$ atau $x>0$

Bukti:

Diketahui anteseden dari implikasi tersebut adalah $x^2>0$ . Dengan pembuktian langsung, kita harus menunjukkan bahwa pernyataan disjungsi $x<0$ atau $x>0$ adalah kesimpulan yang bernilai benar. Untuk membuktikan disjungsi $x<0$ atau $x>0$ adalah kesimpulan yang benar, kita tunjukkan bahwa implikasi $x \nless 0 \Rightarrow x >0$ bernilai benar sbb.

Jika $x \nless 0$, maka $x \ge 0$. Karena $x^2>0$, maka $x>0$. Tidak mungkin $x=0$, sebab jika $x=0$ maka $x^2=0$.  Dengan demikian, disjungsi $x<0$ atau $x>0$ adalah kesimpulan yang benar. Jadi, terbukti bahwa jika $x^2>0$ maka $x<0$ atau $x>0$.


Sumber: Frans Susilo, Landasan Martematika (Yogyakarta: Graha Ilmu, 2012)

Comments

Popular posts from this blog

Membuktikan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak