Posts

Showing posts from July, 2017

Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Rumus limit fungsi trigonometri yang akan dibuktikan di sini adalah rumus yang biasa digunakan untuk menyelesaikan soal-soal limit fungsi trigonometri di bangku sekolah setingkat SMA/sederajat. Rumus tersebut adalah sebagai berikut.$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=1$Dengan rumus limit fungsi ini, kita dapat membuktikan pula rumus limit fungsi trigonometri berikut ini.$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{sin \ x}=1$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{tan \ x}{x}=1$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{tan \ x}=1$ Bukti $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin \ x}{x}=1$ Sudah banyak sekali yang membahas pembuktiannya dengan menggunakan lingkaran satuan baik di buku-buku matematika sekolah maupun di buku-buku lain. Kalian juga dapat menemukan pembuktiannya di blog-blog matematika yang ada. Untuk itu, saya menggunakan cara yang lain saja agar dapat menambah pengetahuan bagi pembaca, yaitu dengan menggunakan Dalil atau Teorema L’Hopital untuk bentuk tak-tentu 0/0 yang buktinya dapat dibaca pada tulisan

Membuktikan Identitas Trigonometri

Image
Tahuka Anda identitas trigonometri? Identitas dalam matematika adalah pernyataan yang selalu benar untuk setiap nilai variabel yang ditunjuk sedangkan trigonometri merupakan bidang matematika khusus yang mempelajari sinus, kosinus, dan tangen. Dalam pembahasan ini, kita akan mencoba membuktikan identitas-identitas trigonometri yang penting berikut ini. $sin^2 \ \alpha + cos^2 \ \alpha =1$ $sec^2 \ \alpha =1+tan^2 \ \alpha $ $csc^2 \ \alpha =1+cos^2 \ \alpha $ Sebelum membuktikan masing-masing identitas di atas, kita harus mengetahui definisi trigonometri yang akan kita jadikan dasar untuk membuktikan identitas-identitas tersebut.
Definisi Trigonomerti pada Segitiga Siku-siku

Pada segitiga ABC di samping, didefinisikan trigonometri sebagai berikut. $sin \alpha = \frac{y}{r}$ $cos \alpha = \frac{x}{r}$ $tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$ $cot \alpha = \frac{x}{y}= \frac{1}{tan \alpha}$ $sec \alpha = \frac{r}{x}= \frac{1}{cos \alpha}$ $cosec \alpha = \frac{r}{y}= \…

Membuktikan Limit Barisan Menggunakan Definisi

Pengertian barisan yang dimaksud di sini adalah pengertian barisan bilangan real, yaitu suatu fungsi pada himpunan $N$ dengan daerah hasil yang termuat di $R$. Dengan kata lain, suatu barisan di $R$ memasangkan masing-masing bilangan asli 1, 2, 3, dst. secara tunggal dengan bilangan real. Bilangan real yang diperoleh tersebut disebut elemen, atau nilai, atau suku dari barisan tersebut. Untuk menulisakan elemen dari $R$ yang berpasangan dengan $n \in N$ biasanya dengan huruf kecil $x_n$, (atau $a_n$, atau $z_n$), sedangkan untuk menulisankan barisannya  kita gunakan huruf kapital X atau $X_n$, atau bisa menggunakan huruf kecil asalkan ditulis dalam kurung, yakni $(x_n: \ n \in N)$ atau $(x_n)$ saja. Penulisan  $(x_n)$ menyatakan bahwa urutan yang diwarisi dari $N$ adalah hal yang penting untuk membedakan penulisan dengan $\{x_n\}$. Contoh, $X=((-1)^n: \ n \in N)$ adalah barisan yang suku-sukunya mempunyai urutan yang berganti-ganti –1 dan 1, sedangkan himpunan nilai barisan tersebut ad…

Bilangan Asli Selain 1 Memiliki Faktor Prima

Pada pembahasan sebelumnya mengenai pembuktian teorema bilangan komposit (yaitu “jika n memiliki faktor prima p dimana $p \le \sqrt{n}$ maka n adalah bilangan komposit”) yang dibahas dalam tulisan lain dengan judul Cara Membuktikan Bilangan Prima, di dalamnya kita menggunakan lemma “setiap bilangan bulat positif (bilangan asli) yang lebih besar dari 1 memiliki faktor prima” yang memerlukan pembuktian untuk mendukung pembuktian dalam tulisan sebelumnya, sehingga pada tulisan ini, kita akan membuktikan lemma (teorema kecil) yang dimaksud tersebut berikut ini.“Setiap bilangan asli n lebih besar dari  1 memiliki faktor prima.”Kita tahu bahwa setiap bilangan asli $n>1$ kalau bukan bilangan prima maka bilangan komposit. Kita buktikan untuk n yang komposit saja dengan bukti kontradiksi (karena jelas jika n bilangan prima sudah pasti n memiliki faktor prima, yaitu n itu sendiri). Andaikan bahwa terdapat bilangan asli n komposit lebih besar dari 1 yang tidak memiliki faktor prima. Ini artin…