Bilangan Asli Selain 1 Memiliki Faktor Prima

Pada pembahasan sebelumnya mengenai pembuktian teorema bilangan komposit (yaitu “jika n memiliki faktor prima p dimana $p \le \sqrt{n}$ maka n adalah bilangan komposit”) yang dibahas dalam tulisan lain dengan judul Cara Membuktikan Bilangan Prima, di dalamnya kita menggunakan lemma “setiap bilangan bulat positif (bilangan asli) yang lebih besar dari 1 memiliki faktor prima” yang memerlukan pembuktian untuk mendukung pembuktian dalam tulisan sebelumnya, sehingga pada tulisan ini, kita akan membuktikan lemma (teorema kecil) yang dimaksud tersebut berikut ini.

“Setiap bilangan asli n lebih besar dari  1 memiliki faktor prima.”

Kita tahu bahwa setiap bilangan asli $n>1$ kalau bukan bilangan prima maka bilangan komposit. Kita buktikan untuk n yang komposit saja dengan bukti kontradiksi (karena jelas jika n bilangan prima sudah pasti n memiliki faktor prima, yaitu n itu sendiri). Andaikan bahwa terdapat bilangan asli n komposit lebih besar dari 1 yang tidak memiliki faktor prima. Ini artinya bahwa himpunan bilangan asli lebih besar dari 1 yang tidak memiliki faktor prima tersebut merupakan suatu himpunan tak-kosong. Karena itu, menurut Well Ordering Principle (Prinsip Terurut Rapi), terdapat bilangan asli terkecil m yang lebih besar dari 1 yang tidak memiliki faktor prima (dalam himpunan tersebut). Karena m komposit maka $m=ab$ dimana $1 < a < m$ dan $1 < b < m$. Jelas a dan b komposit sesuai pengandaian (karena jika a atau b prima maka pembuktian selesai). Perhatikan bahwa $a < m$ bertentangan dengan m bilangan asli terkecil dalam himpunan bilangan asli $n > 1$ yang tidak memiliki faktor prima. Jadi, pengandaian salah dan yang benar adalah n memiliki sebuah faktor prima.

Cukup menarik bahwa setiap bilangan asli lebih besar dari 1 memiliki faktor prima  yang dengan ini, secara intuisi kita peroleh kenyataan bahwa  setiap bilangan asli yang lebih besar dari 1 dapat dituliskan dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan prima. Hal ini telah dinyatakan dalam teorema yang sangat terkenal dalam teori bilangan, yaitu The Fundamental Theorem of Arithmetic (Teorema Fundamental Aritmetik) yang berbunyi “Every positive integer different from 1 can be written uniquely as a product of primes”. Selengkapnya baca di Teorema Fundamental Aritmetik.

Comments

Popular posts from this blog

Membuktikan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak