Membuktikan Identitas Trigonometri

Tahuka Anda identitas trigonometri? Identitas dalam matematika adalah pernyataan yang selalu benar untuk setiap nilai variabel yang ditunjuk sedangkan trigonometri merupakan bidang matematika khusus yang mempelajari sinus, kosinus, dan tangen. Dalam pembahasan ini, kita akan mencoba membuktikan identitas-identitas trigonometri yang penting berikut ini.
  1. $sin^2 \ \alpha + cos^2 \ \alpha =1$
  2. $sec^2 \ \alpha =1+tan^2 \ \alpha $
  3. $csc^2 \ \alpha =1+cos^2 \ \alpha $
Sebelum membuktikan masing-masing identitas di atas, kita harus mengetahui definisi trigonometri yang akan kita jadikan dasar untuk membuktikan identitas-identitas tersebut.

Definisi Trigonomerti pada Segitiga Siku-siku

Pada segitiga ABC di samping, didefinisikan trigonometri sebagai berikut.
$sin \alpha = \frac{y}{r}$
$cos \alpha = \frac{x}{r}$
$tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$
$cot \alpha = \frac{x}{y}= \frac{1}{tan \alpha}$
$sec \alpha = \frac{r}{x}= \frac{1}{cos \alpha}$
$cosec \alpha = \frac{r}{y}= \frac{1}{sin \alpha}$

Dari definisi trigonometri pada segitiga siku-siku di atas, kita tunjukkan identitas-identitas trigonometri berikut ini.
  • $sin^2 \ \alpha + cos^2 \ \alpha =1$
Bukti:
$\begin{align} sin^2 \ \alpha + cos^2 \ \alpha &= (\frac{y}{r})^2+(\frac{x}{r})^2 \\ &= \frac{y^2}{r^2}+ \frac{x^2}{r^2} \\ &= \frac{x^2+y^2}{r^2} \\ &=\frac{r^2}{r^2} \\ &=1 \end{align} $
  • $sec^2 \ \alpha =1+tan^2 \ \alpha $
Bukti:
$\begin{align} sec^2 \ \alpha &=1+ (\frac{y}{x})^2 \\ \frac{r^2}{x^2} &= 1 + \frac{y^2}{x^2} \\ &= \frac{x^2}{x^2}+ \frac{y^2}{x^2} \\ &= \frac{x^2+y^2}{x^2} \\ &= \frac{r^2}{x^2} \\ &= sec^2 \ \alpha \end{align}$.
Dengan cara yang serupa, kami serahkan kepada pembaca untuk memuktikan $csc^2 \ \alpha =1+cos^2 \ \alpha $.

Definisi Trigonomerti pada Lingkaran Satuan

Andaikan t menentukan titik P(x,y) untuk t merupkan bilangan real (bukan himpunan sudut-sudut) pada lingkaran satuan C yaitu $x^2+y^2=1$ dan andaikan t sebarang bilangan positif maka terdapat tepat satu titik P(x,y) pada C sedemikian sehingga panjang busur AP, yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari A sepanjang lingkaran satuan adalah t. Demikian juga jika t < 0, maka terdapat satu titik P(x,y) pada lingkaran satuan sedemikian sehingga panjang busur AP, diukur searah putaran jarum jam pada C, adalah |t|. Ini membolehkan untuk membuat definisi dari sinus dan kosinus.
Definisi: Andaikan t menentukan titik P(x,y) maka
$sin \ t=y$
$cos \ t=x$
Dari definisi di atas, kita buktikan identitas trigonometri yang diminta:
  • $sin^2 \ t + cos^2 \ t =1$
Bukti:
Untuk $y^2+x^2=1$ maka $sin^2 \ t+cos^2 \ t=1$
  • $sec^2 \ t =1+tan^2 \ t $
Bukti:
$\begin{align} sec^2 \ t &=1+tan^2 \ t \\ &= 1+ \frac{sin^2 \ t}{cos^2 \ t} \\ &= \frac{cos^2 \ t}{cos^2 \ t} + \frac{sin^2 \ t}{cos^2 \ t} \\ &= \frac{sin^2 \ t + cos^2 \ t}{cos^2 \ t} \\ &= \frac{1}{cos^2 \ t} \end{align}$
Dengan cara yang serupa, kami serahkan kepada pembaca untuk memuktikan $csc^2 \ t=1+cos^2 \ t$.
Masih ingat, jika s panjang potongan busur sebuah lingkaran yang berjari-jari r dengan sudut pusat t radian, berlaku $\frac{s}{2 \pi r}=\frac{t}{2 \pi}$, yakni $s=rt \Leftrightarrow t=\frac{s}{t}$. Bilamana r=1, ini memberikan $s=t$. Dengan demikian, panjang busur pada lingkaran satuan (r=1) di atas dengan sudut pusat t radian adalah t. Sehingga diperoleh hubungan:
$sin \alpha = sin t=y$
$cos \alpha=cos t=x$.
Referensi: Kalkulus Purcell Jilid 1

Berlangganan Update Artikel Terbaru via Email:

0 Response to "Membuktikan Identitas Trigonometri"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Apakah Anda ingin PINTAR MATEMATIKA? Sebuah Pengantar dalam Ebook Belajar Matematika dari Dasar. Di dalamnya juga dibahas cara membuktikan dalam matematika.

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel

Jika ada yang ingin didiskusikan, silahakan berkomentar atau menghubungi kami lewat whatsapp, silahkan Klik Di Sini. Mau gabung Grup WA Matematika Ku Bisa? Join Di Sini!