Membuktikan Limit Barisan Menggunakan Definisi

Pengertian barisan yang dimaksud di sini adalah pengertian barisan bilangan real, yaitu suatu fungsi pada himpunan $N$ dengan daerah hasil yang termuat di $R$. Dengan kata lain, suatu barisan di $R$ memasangkan masing-masing bilangan asli 1, 2, 3, dst. secara tunggal dengan bilangan real. Bilangan real yang diperoleh tersebut disebut elemen, atau nilai, atau suku dari barisan tersebut. Untuk menulisakan elemen dari $R$ yang berpasangan dengan $n \in N$ biasanya dengan huruf kecil $x_n$, (atau $a_n$, atau $z_n$), sedangkan untuk menulisankan barisannya  kita gunakan huruf kapital X atau $X_n$, atau bisa menggunakan huruf kecil asalkan ditulis dalam kurung, yakni $(x_n: \ n \in N)$ atau $(x_n)$ saja. Penulisan  $(x_n)$ menyatakan bahwa urutan yang diwarisi dari $N$ adalah hal yang penting untuk membedakan penulisan dengan $\{x_n\}$. Contoh, $X=((-1)^n: \ n \in N)$ adalah barisan yang suku-sukunya mempunyai urutan yang berganti-ganti –1 dan 1, sedangkan himpunan nilai barisan tersebut adalah $\{(-1)^n: \ n \in N\}$ sama dengan {-1, 1}. Kita juga dapat menulisakan barisan dengan menulis suku-sukunya, dan berhenti setelah aturan formasinya kelihatan. Contoh, X=(2, 4, 6, 8, … ) yang merupakan barisan bilangan genap positif. Tapi, metode yang lebih memuaskan adalah menulis formula untuk suku umum dari barisan tersebut, yaitu $X=(2n: \ n \in N)$ atau $X=(2n)$. Selain daripada itu, ada juga pendefinisian barisan secara induktif atau rekursif, yaitu dengan menentukan nilai $x_1$  dan suatu formula terlebih dahulu untuk mendapatkan $x_{n+1} \ \  (n \ge 1)$ (bila $x_n$ diketahui) dan untuk mendapatkan formula $x_{n+1} \ \  (n \ge 1)$ dari $x_1$, $x_2$, … , $x_n$. Dengan cara ini, barisan bilangan genap di atas dapat kita definisikan dengan:

$x_1=2 \ \ \ \ x_{n+1}=x_n+2 \ \ (n \ge 1)$, atau

$x_1=2 \ \ \ \ x_{n+1}=x_1+x_n \ \ (n \ge 1)$.

Definisi Limit suatu Barisan: Misalkan $X=(x_n)$ barisan bilangan real. $X=(x_n)$ dikatakan konvergen ke $x \in R$, atau $x$ dikatakan limit dari $(x_n)$, bila untuk setiap $\epsilon >0$ terdapat bilangan asli $K(\epsilon)$, sedemikian sehingga untuk setiap $n \ge K(\epsilon)$, suku-suku $x_n$ memenuhi $|x_n – x| < \epsilon$.

Catatan: Bila suatu barisan tidak mempunyai limit, kita katakan divergen. Penulisan $K(\epsilon)$ digunakan untuk menunjukkan secara eksplisit bahwa pemilihan $K$ tergantung pada $\epsilon$, namun demikian sering lebih mudah menuliskan dengan $K$, daripada $K(\epsilon)$. Bila suatu barisan $X=(x_n)$ mempunyai limit di $x \in R$, kita gunakan notasi $\lim X=x$ atau $\lim (x_n)=x$ atau $\lim_{x \rightarrow \infty} x_ n =x$ atau $x_n \rightarrow x$.

Dengan definisi di atas, kita coba buktikan:

  • $\lim (\frac{1}{n})=0$

Bukti:

Ambil sebarang $\epsilon >0$, maka $\frac{1}{ \epsilon} >0$. Menurut sifat Archimedes, terdapat $K$ dimana $\frac{1}{K} < \epsilon$. Sehingga, untuk setiap $n \ge K(\epsilon)$ berlaku

$\begin{align} |\frac{1}{n} – 0| &= |\frac{1}{n}|\\ &=\frac{1}{n} \le \frac{1}{K} < \epsilon \end{align}$

Jadi, terukti $\frac{1}{n} \rightarrow 0$.

  • $\lim (3+ \frac{2}{n^2}) = 3$

Bukti:

Ambil sebarang $\epsilon >0$, maka $\frac{2}{\epsilon} >0$. Dengan sifat Archimedes kita dapat menunjukkan bahwa terdapat $K$ dimana $K >  \frac{2}{\epsilon}$. Sehingga, untuk setiap $n \ge K(\epsilon)$, berlaku:

$\begin{align} |3+ \frac{2}{n^2} – 3| &= | \frac{2}{n^2}| \\ &= \frac{2}{n^2} \\ & \le \frac{2}{K^2} < \frac{2}{K} < \frac{2}{\frac{2}{\epsilon}}=\epsilon \end{align}$

Jadi, terukti $3+ \frac{2}{n^2} \rightarrow 0$.

Yang sulit disini adalah memilih $K$ yang tepat. Sebaiknya, kita melakukan analisis pendahuluan terlebih dahulu sebelum masuk ke pembuktian formalnya. Misalnya, pada contoh 1:

Pandang,

$\begin{align} |\frac{1}{n} – 0| &= |\frac{1}{n}|\\ &=\frac{1}{n} \\ & \le \frac{1}{K}  < \epsilon \end{align}$

Kita harus memilih $K$ dimana $\frac{1}{K} < \epsilon$ (dijamin sifat Archimedes) agar $\frac{1}{K} < \epsilon$ .

Pada contoh 2:

Pandang,

$\begin{align} |3+ \frac{2}{n^2} – 3| &= |\frac{2}{n^2}| \\ &= \frac{2}{n^2} \\ & \le \frac{2}{K^2} \\ & < \frac{2}{K}  < \frac{2}{\frac{2}{\epsilon}}=\epsilon \end{align}$

Kita harus memilih $K$ dimana $K > \frac{2}{\epsilon}$ (dijamin dengan menggunakan sifat Archimedes)  agar $\frac{2}{K} < \frac{2}{\frac{2}{\epsilon}}=\epsilon $.

Catatan: Jika $a \ge b$ maka $\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$. Sehingga, jika $n \ge K$ maka:

  • $\frac{1}{n} \le \frac{1}{K}$
  • $\frac{2}{n^2} \le \frac{2}{K^2}$

Jadi, untuk membuktikan $x_n \rightarrow x$ menurut definisi, sebarang $\epsilon>0$ yang diberikan kita harus menemukan $K$ yang ada hubungannya dengan $\epsilon$  baik menggunakan hubungan “<” atau “>” secara “tepat” sehingga kita dapat menunjukkan bahwa untuk semua $n \ge K(\epsilon)$, suku-suku $x_n$ memenuhi $|x_n – x| < \epsilon$. Kita juga harus memastikan terdapatnya $K$ yang bergantung dengan $\epsilon$ tersebut.


Referensi: Buku Analisis Real karya Bartle dan Sherbert (edisi 4) dan terjemahannya.

Comments

Popular posts from this blog

Membuktikan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak