Cara Membuktikan Soal Limit Kiri

Pendahuluan: Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Artinya, jika nilai $\lim_{x→c^-}⁡f(x)=L$ dan $\lim_{x→c^+}⁡f(x)=L$, maka nilai $\lim_{x→c}⁡f(x)=\lim_{x→c^-}⁡f(x)=\lim_{x→c^+}⁡ f(x)=L$. 

Contoh: Apakah fungsi $ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 &; \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 &; \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. $ mempunyai limit pada x=1? 

Penyelesaian: Jika nilai x ≤ 1 maka fungsi yang berlaku adalah $ f(x) = x^2 $ dan jika nilai $ x < 1 \, $ maka maka fungsi yang berlaku adalah berlaku $ f(x) = x + 1 $. Misalnya, x=2 maka fungsi yang berlaku adalah $x^2$, sehingga $f(2)=(2)^2=4$.

Jadi, untuk x mendekati 1 dari arah kiri maka $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x^2 =(1)^2= 1$ dan untuk x mendekati 1 dari arah kanan maka $ \lim_{x \to 1^{+} } f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} x+1 =(1)+1=2$

Karnena nilai limit kiri yaitu $\lim_{x→1^-} f(x)=1$ dan nilai limit kananya yaitu $\lim_{x→1^+} f(x)=2$ tidak sama, maka fungsi f(x) tersebut untuk x mendekati 1 tidak mempunyai limit. 

Dari contoh soal di atas, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa ada suatu fungsi f(x) yang tidak memiliki nilai limit pada titik c, tatapi memiliki nilai limit dari arah kiri atau arah kanan. 

Definisi Limit Kiri Misalkan A⊆R dan f:A →R. Jika c∈R suatu titik cluster dari A∩(-∞,c) = {x∈A∶ x < c}, maka kita mengatakan bahwa L∈R adalah suatu limit-kiri dari f pada c dan dituliskan:
$\lim_{x→c^-} f(x)=L$

Jika diberikan sebarang ϵ>0 terdapat suatu δ=δ(ϵ)>0 sedemikian sehingga untuk semua x∈A dengan $0<c-x<δ$, maka $|f(x)-L|<ϵ$
Berdasarkan definisi di atas cara membuktikan bahwa $\lim_{x→c^-} f(x)=L$ dimulai dari mengambil sebarang ϵ>0, kita harus dapat menemukan δ(ϵ)>0, sehingga sembarang x∈A dimana $0<c-x<δ$ maka berlaku $|f(x)-L|<ϵ$.

Comments

Popular posts from this blog

Membuktikan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak