Posts

Showing posts from January, 2018

Cara Membuktikan dengan Induksi Matematika Sederhana

Kita telah menyinggung sedikit pembuktian dengan induksi matematika di dalam tulisan Cara Membuktikan dalam Matematika. Secara khusus kita akan membahas Cara Membuktikan dengan Induksi Matematika Sederhana.  “Induksi matematika adalah suatu metode pembuktian deduktif yang digunakan untuk membuktikan pernyataan matematika yang bergantung pada himpunan bilangan yang terurut rapi (well ordered set), seperti bilangan asli ataupun himpunan bagian tak kosong dari bilangan asli” (smatika.blogspot.com, induksi matematika).Prinsip induksi matematika sederhana atau dikenal dengan Prinsip Induksi Matematika Pertama adalah sebagai berikut.Misalkan {P(n): n $ \in N$} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(n=1) benar; dan jika P(n=k) benar mengakibatkan P(n=k+1) juga benar; Maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.Dengan prinsip di atas, maka untuk membuktikan pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli n, kita lakukan dengan dua langkah berikut ini.La…

Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak

Image
Misalkan segitiga ABC memiliki panjang sisi AB, BC, dan CD maka $AB < BC+CD $. Begitu juga $BC < AB+CD $ dan $CD < AB+BC $, yang artinya, penjumlahan dua sisi segitiga akan melebihi sisi ketiga yang lainnya. Adapun ketaksamaan segitiga dalam bentuk nilai mutlak adalah sebagai berikut.Jika , maka  Bukti :
Kita gunakan   dan  untuk membuktikan ketaksamaan segitiga di atas. Dengan menjumlahkan kedua ketaksamaan tersebut diperoleh:. Dari sini, dengan menggunakan $|x| \le c \Leftrightarrow -c \le x \le c$ maka kita  peroleh  (terbukti).Sekarang kita buktikan untuk (setara dengan) di bawah ini.Misalkan $|a| \le c $ maka $-c \le a \le c $. Dengan menerapkan |a|=c maka $-|a| \le a \le |a|$.Akibat dari Ketaksamaan segitiga diatas adalah: 1.  2. Bukti 1. Kita tulis . Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga diperoleh:. Kemudian kita kurangi dengan sehingga kita dapatkan . Bukti 2. Gantilah  pada Ketaksamaan Segitiga dengan –b, sehingga diperoleh . Karena  maka diperoleh bahwa . Ketaksama…