Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak

Misalkan segitiga ABC memiliki panjang sisi AB, BC, dan CD maka $AB < BC+CD $. Begitu juga $BC < AB+CD $ dan $CD < AB+BC $, yang artinya, penjumlahan dua sisi segitiga akan melebihi sisi ketiga yang lainnya. Adapun ketaksamaan segitiga dalam bentuk nilai mutlak adalah sebagai berikut.

Jika , maka  

Bukti :

Kita gunakan   dan  untuk membuktikan ketaksamaan segitiga di atas. Dengan menjumlahkan kedua ketaksamaan tersebut diperoleh:

Dari sini, dengan menggunakan $|x| \le c \Leftrightarrow -c \le x \le c$ maka kita  peroleh  (terbukti).

Sekarang kita buktikan untuk  (setara dengan) di bawah ini.

Misalkan $|a| \le c $ maka $-c \le a \le c $. Dengan menerapkan |a|=c maka  $-|a| \le a \le |a|$.

Akibat dari Ketaksamaan segitiga diatas adalah: 

1.  

2. 

Bukti 1. 

Kita tulis . Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga diperoleh:

 

Kemudian kita kurangi dengan sehingga kita dapatkan .

 Bukti 2. 

Gantilah  pada Ketaksamaan Segitiga dengan –b, sehingga diperoleh . Karena  maka diperoleh bahwa 

Ketaksamaan segitiga di atas dapat diperluas sehingga berlaku untuk sebarang bilangan real yang banyaknya berhingga.

Jika  adalah sembarang bilangan real, maka :

.

Demikian postingan singkat kami tentang ketaksamaan segitiga dalam bentuk nilai mutlak, semoga dapat bermanfaat. Terima kasih atas kunjungannya.

Comments

Popular posts from this blog

Membuktikan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Membuktikan Rumus Limit Fungsi Trigonometri